You are Here:
Контрольная работа по производным

Автор (Прочитано 1335 раз)

0 Пользователей и 1 Гость просматривают эту тему.

Контрольная работа по производным
« : Апрель 25, 2011, 22:54:52 pm »
 

Vezunchik

  • "Новичок"
  • *
  • 1
    Сообщений
  • Репутация: 0
    • Просмотр профиля
Помогите, пожалуйста, решить задания. Срок - до конца месяца.

№ 1.
Найдите производные первого порядка
а) y = `x^3+(x+5)*tgx`
б) y = `sinx*log_3(x)`
в) y = `(tgx)/(log_2(x))`
г) y = `10^(sqrt(x))*sin(sqrt(x))*2^(x^4)`
 д) y = `(x^2+ x)^(x^2)`

№ 2.
а) Для функции z = f(x;y) найдите частные производные первого порядка `(δf)/(δx)` и `(δf)/(δy)` в точке М.
Z = arcsin `(x/y)`, M(-1;2)

б) Для функции x = f(x;y; z) найдите все частные производные первого порядка в точке Р.
x = `(x^2 + y^2)/(x + y + z)`, P(0;0;1)

№ 3.
а) Найдите критические точки функции z = f(x;y). Исследовать их характер.
z = `x^2 + 2xy + 4y^2 + 2x - 8y + 1`

б) Найдите наименьшее и наибольшее значение функции z = f(x;y) в области D.
z = `x^2 + 3y^2 + x - y`; D: `x>=0, y>=0, x+y<=1`
« Последнее редактирование: Апрель 25, 2011, 22:57:55 pm от Vezunchik »
 

Re: Контрольная работа по производным
« Ответ #1 : Апрель 28, 2011, 20:42:24 pm »
 

Foxy

  • Гость
#1
a)
`y=x^3+(x+5)tgx`

`y'=3x^2+tgx+(x+5)/(cos^2x)`

б)
`y=sinxlog_3 (x)`

`y'=((sinx)(log_3 (x)))'=cosxlog_3 (x)+sinx/(xln3)`

в)
`y=(tg(x))/(log_2 x)`

`y'=((log_2 x)/(cos^2x) - (tgx)/(xln2))/(log_2 x)` - думаю упростишь сам

г)
`y=10^(sqrtx)sin(sqrtx)2^(x^4)`

`y'=(10^(sqrtx))(sin(sqrtx)2^(x^4))=(10^(sqrtx))'*(sin(sqrtx)2^(x^4))+(10^(sqrtx))*(sin(sqrtx)2^(x^4))'=`

`=(2^(x^4+sqrt(x)-1) 5^(sqrt(x)) ((8 x^(7/2) ln(2)+ln(10)) sin(sqrt(x))+cos(sqrt(x))))/sqrt(x)`

`(10^(sqrt(x)))' = (2^(sqrt(x)-1) 5^(sqrt(x)) log(10))/sqrt(x)`

`(2^(x^4))' = 2^(x^4+2) x^3 ln(2)`

`(sin(sqrt(x)) 2^(x^4))' = (2^(x^4-1) (8 x^(7/2) ln(2) sin(sqrt(x))+cos(sqrt(x))))/sqrt(x)`

д)
 `y=(x^2+x)^(x^2)`

`lny=x^2ln(x^2+x)`

`(lny)'=(x^2ln(x^2+x))'`

`(y')/y=(x (2 x+2 (x+1) log(x (x+1))+1))/(x+1)`

`y'=(x (x^2+x)^(x^2)(2 x+2 (x+1) log(x (x+1))+1))/(x+1)`
« Последнее редактирование: Апрель 29, 2011, 03:20:53 am от Web »
 

Re: Контрольная работа по производным
« Ответ #2 : Апрель 29, 2011, 19:35:21 pm »
 

Foxy

  • Гость
#2
a)`(deltaz)/(deltax) = 1/(ysqrt(1-x^2/y^2))`
`(deltaz)/(deltay) = -x/(y^2sqrt(1-x^2/y^2))`
`(deltaz)/(deltax)(M) = 1/(2sqrt(1-(-1)^2/2^2))=1/sqrt3`
`(deltaz)/(deltay) = -(-1)/(2^2sqrt(1-(-1)^2/2^2))=1/(2sqrt3)`
б)`(deltaf)/(deltax) = (2x(x+y+z)-(x^2+y^2))/(x+y+z)^2`
`(deltaf)/(deltay) = (2y(x+y+z)-(x^2+y^2))/(x+y+z)^2`
`(deltaf)/(deltaz) = -(x^2+y^2)/(x+y+z)^2`
Ну циферки здесь по аналогии думаю сам подставишь))
« Последнее редактирование: Апрель 29, 2011, 20:02:04 pm от Foxy »
 

Re: Контрольная работа по производным
« Ответ #3 : Апрель 29, 2011, 20:30:30 pm »
 

Foxy

  • Гость
#3
a)`z=x^2+2xy+4y^2+2x-8y+1`
Необходимое условие существования экстремума: `{((deltaz)/(deltax)=0),((deltaz)/(deltay)=0):}`
`(deltaz)/(deltax) = 2x+2y+2=0`
`(deltaz)/(deltay) = 2x+8y-8=0`
`M(-8/3;5/3)` - критическая точка.
Достаточные условия: обозначим через `A,B,C` значения производных  `(delta^2z)/(deltax^2), (delta^2z)/(deltaxdeltay), (delta^2z)/(deltay^2)` в критической точке `(x_o;y_o)`
Тогда, если:
1) `|(A \ \ B ),(B \ \ C)|>0`, то `F(x_o;y_o)=z_(max)` при `A<0, F(x_o;y_o) = z_(min)` при `A>0`;
2) `|(A \ \ B ),(B \ \ C)|<0`, то экстремума нет;
3) `|(A \ \ B ),(B \ \ C)|=0`, то экстремум может быть, а может и не быть (сомнительный случай)

`A = (delta^2z)/(deltax^2)(M) = 2`
`B = (delta^2z)/(deltaxdeltay)(M) = 2`
`C = (delta^2z)/(deltay^2)(M) = 8`
`|(2 \ \ 2 ),(2 \ \ 8 )|=16-4=12>0, A>0=>z(M)=z_(min)=-25/3`

б) `z=x^2+3y^2+x-y; D:x>=0,y>=0, x+y<=1`
Область `D` изображена на рисунке голубым цветом:

`(deltaz)/(deltax)= 2x+1=0`
`(deltaz)/(deltay) = 6y-1=0`
Критическая точка `M(-1/2;1/6)` - не подходит по условию задачи, значит наименьшее и наибольшее значение функции ищем в вершинах треугольника:
1. `M_1(0;1)`
`z(M_1) = 2`
2. `M_2(0;0)`
`z(M_2) = 0`
3. `M_3(1;0)`
`z(M_3) = 2`
Так же рассматриваем случай, когда `x+y=1` (таким образом мы прошлись по всем сторонам треугольника)
`y=1-x`
`z=x^2+3(1-x)^2+x-(1-x) = 4 x^2-4 x+2`
`min(z)=1` при `x=1/2`
Значит минимальное значение функции 0, а максимальное 2.
« Последнее редактирование: Июнь 10, 2011, 17:17:34 pm от Foxy »
 

rideamus.com

Re: Контрольная работа по производным
« Ответ #3 : Апрель 29, 2011, 20:30:30 pm »